题目内容
【题目】已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．
（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；
（2）在（1）的条件下，证明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；
（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，eb）内实根的个数（e为自然对数的底数）．
【答案】
（1）解：∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R），
∴ 
，g'（x）=2ax﹣1．
∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，
∴ 
，解得 
（2）解：设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣（x2﹣x），x＞0
则 
，
∴当x＞1时，y＜0；当﹣ 
＜x＜0时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0；当x＜﹣ 时，y＞0．
∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴F（x）最大值为F（1）=ln1﹣（1﹣1）=0．
∴F（x）=f（x）﹣g（x）≤0，即f（x）≤g（x）
（3）解：∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x，a=1，b＞2e
∴f（x）﹣g（x）=x转化为blnx﹣x2=0，
令G（x）=blnx﹣x2，则 
，
由 =0，得x= 
，
∵x∈（1，eb）且b＞2e，
∴ 
，eb＞ 
，
∴由G′（x）＞0得1＜x＜ ，由G′（x）＜0，得 
，
∴G（x）在 
上单调递增，在 
上单调递减
∴当x= 时， 
，
∵b＞2e，∴ 
，∴ 
，∴ 
又∵G（1）=﹣1＜0G（eb）=blneb﹣e2b=b2﹣e2b=（b+eb）（b﹣eb）＜0，
∴方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，eb）内有两个实根
【解析】（1）由 ，g'（x）=2ax﹣1，利用曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，能求出实数a、b的值．（2）设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣（x2﹣x），x＞0，则 ，由此推导出F（x）最大值为F（1）=0．从而能够证明f（x）≤g（x）．（3）由f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x，a=1，b＞2e，知f（x）﹣g（x）=x转化为blnx﹣x2=0，令G（x）=blnx﹣x2 ， 则 ，由此能够推导出方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，eb）内有两个实根．
