Question

12．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知a₅=9，S₅=25．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）等差数列{a_n}中，由a₅=9，S₅=25，利用等差数列的通项公式和前n项和公式能求出a_n=2n-1；
（2）由（1）能求出b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用裂项求和法能求出T_n，判断单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（1）等差数列{a_n}中，∵a₅=9，S₅=25，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=9}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=25}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，
∴b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．
由于$\frac{n}{2n+1}$=$\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$为递增数列，
n=1时，取得最小值$\frac{1}{3}$，且$\frac{n}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意方程思想和数列单调性的合理运用．