Question

2．数列{a_n}满足：a₁=2014，a_n-a_n•a_n+1=1，l_n表示a_n的前n项之积，则l₂₀₁₄=-2014．

Answer 1

分析 通过化简可知递推式为a_n+1=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，进而逐一求出a₂、a₃、a₄发现数列的项周期出现，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n-a_na_n+1=1，
∴a_n+1=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∵a₁=2014，
∴a₂=1-$\frac{1}{2014}$=$\frac{2013}{2014}$，
a₃=1-$\frac{2014}{2013}$=-$\frac{1}{2013}$，
a₄=1-$\frac{1}{-\frac{1}{2013}}$=2014，
∴该数列是周期为3的周期数列，
且前三项之积为2014•$\frac{2013}{2014}$•（-$\frac{1}{2013}$）=-1，
∵2014=671×3+1，
∴l₂₀₁₄=（-1）⁶⁷¹•2014=-2014，
故答案为：-2014．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．