Question

【题目】如图所示，已知长方形ABCD，AD=2CD=4，M、N分别为AD、BC的中点，将长方形ABCD沿MN折到MNFE位置，且使平面MNFE⊥平面ABCD．

（1）求证：直线CM⊥面DFN；

（2）求点C到平面FDM的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）推导出DN⊥CM，CM⊥FN，由此能证明CM⊥平面DFN．（2）以M为原点，MN为x轴，MA为y轴，ME为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面FDM的距离．

证明：（1）∵长方形ABCD，AD=2CD=4，M、N分别为AD、BC的中点，
将长方形ABCD沿MN折到MNFE位置，且使平面MNFE⊥平面ABCD．
∴DN⊥CM，CM⊥FN，

又DN∩FN=N，∴CM⊥平面DFN．

解：（2）以M为原点，MN为x轴，MA为y轴，ME为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（2，-2，0），D（0，-2，0），F（2，0，2），M（0，0，0），
=（2，-2，0），=（0，-2，0），=（2，0，2），
设平面FDM的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，0，-1），
∴点C到平面FDM的距离d===．