Question

15．点A，B分别在射线l₁：y=2x（x≥0），l₂：y=-2x（x≥0）上运动，且S_△AOB=4．
（1）求线段AB的中点M的轨迹方程；
（2）求证：中点M到两射线的距离积为定值．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∠AOB=2θ，利用S_△AOB=4，可得x₁•x₂=2，结合中点坐标公式，求线段AB的中点M的轨迹方程；
（2）利用点到直线的距离公式，结合（1）的结论，即可证明．

解答 （1）解：设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∠AOB=2θ，…（1分）
由y=2x可得，tanθ=k=2，那么$sin2θ=\frac{2k}{{1+{k^2}}}=\frac{4}{5}$，…（3分）
又因为$|{OA}|=\sqrt{5}{x_1}$，$|{OB}|=\sqrt{5}{x_2}$
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OB}|•sin2θ=4$，化简得x₁•x₂=2，…①式…（5分）
因为M（x，y）是A（x₁，y₁）与B（x₂，y₂）的中点，
所以x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，且y₁=2x₁，y₂=-2x₂，联立可得$4{x_1}•{x_2}=4{x^2}-{y^2}$，
并代入①式，得4x²-y²=8，…（7分）
所以中点M的轨迹方程是4x²-y²=8，x＞0…（8分）
（2）证明：设中点M到射线OA、OB的距离分别为d₁、d₂，
则$\left\{\begin{array}{l}{d_1}=\frac{{|{2x-y}|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}\\{d_2}=\frac{{|{2x+y}|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}\end{array}\right.$，…（10分）
那么${d_1}•{d_2}=\frac{{|{2x-y}|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}•\frac{{|{2x+y}|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}=\frac{{|{4{x^2}-{y^2}}|}}{5}=\frac{8}{5}$
所以中点M到两射线的距离积为定值          …（12分）

点评 本题考查轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．