Question

已知函数
（1）当时，求函数在的值域；
（2）若关于的方程有解，求的取值范围.

Answer 1

(1)值域为 ；（2）的取值范围为.

试题分析：（1）当时，是个指数形式的函数，求其值域为可以使用换元法求解，令，将转化为关于的二次函数形式，，根据二次函数在给定区间上求解即可.易错点：要注意定义域的变化，其中的取值范围为在的值域.
（2）问有解，求得取值范围，可使用分离参数法，，保证函数和函数有交点即可，既是求函数的值域，求值域的方法是先换元后配方，但要注意定义域的变化，求出函数的值域为，即是在内，则.
试题解析：
（1）当时，，令，则，因而，故值域为 .
（2）方法一:由得；由题意可知与有交点即可.
令，得则得，所以即的取值范围为.
方法二：方程有解,令，则原题意等价于在有解，
记,当时，得，不成立；当时，根据根的分布的.
方法三：方程有解,令，则原题意等价于在有解，即：的值域就是的取值范围，所以.