Question

14．已知a，b，c∈R⁺，则$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$+$\frac{a+b}{c}$的最小值为6．

Answer 1

分析 变形可得原式=（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$），由基本不等式求最值可得．

解答 解：∵a，b，c∈R⁺，∴$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$+$\frac{a+b}{c}$
=（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$）
≥2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$+2$\sqrt{\frac{c}{a}•\frac{a}{c}}$+2$\sqrt{\frac{c}{b}•\frac{b}{c}}$=6，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{a}{b}$且$\frac{c}{a}$=$\frac{a}{c}$且$\frac{c}{b}$=$\frac{b}{c}$即a=b=c时取等号，
故答案为：6．

点评 本题考查基本不等式求最小值，化为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．