Question

8．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²，若对任意的x∈[a-1，a+1]，关于x 的不等式f（x²+a）＞a²f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，2]
• B． （0，4]
• C． （0，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由当x≥0时，f（x）=x²，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=-x²，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足a²f（x）=f（ax），再根据不等式f（x²+a）＞a²f（x）=f（ax），在x∈[a-1，a+1]，恒成立，利用二次函数的性质，可得不等式，即可得出答案．

解答 解：当x≥0时，f（x）=x²，
∵函数是奇函数，∴当x＜0时，f（x）=-x²，∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}，x≥0\\-{x}^{2}，x＜0\end{array}\right.$，
∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足a²f（x）=f（ax），
∵不等式f（x²+a）＞a²f（x）=f（ax）在x∈[a-1，a+1]恒成立，
∴x²+a＞ax在x∈[a-1，a+1]恒成立，
令g（x）=x²-ax+a，函数的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
当$\frac{a}{2}＜a-1$，即a＞2时，不等式恒成立，可得g（a-1）=（a-1）²-a（a-1）+a=1＞0，恒成立；
当$a-1≤\frac{a}{2}≤a+1$，即-2≤a≤2时，不等式恒成立，可得g（$\frac{a}{2}$）=（$\frac{a}{2}$）²-a（$\frac{a}{2}$）+a＞0恒成立，
解得a∈（0，2]；
当$\frac{a}{2}＞a+1$，即a＜-2时，不等式恒成立，可得g（a+1）=（a+1）²-a（a+1）+a=2a+1＞0不恒成立；
综上：a＞0．
故选：C．

点评 本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度比较大，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．选择题可以利用回代验证法求解．