Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f′（x）cosx-f（x）sinx＞0，且f（-2）=0，则不等式f（x）cosx≥0的整数解是

-2，-1，0，1，2

．

Answer 1

分析：根据[f（x）cosx]′=f'（x）•cosx-sinx•f（x），据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出f（x）cosx的单调性，容易得到函数f（x）cosx的两个零点，根据函数的单调性求出不等式的整数解．

解答：解：设g（x）=f（x）cosx，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
故g（-x）=f（-x）cos（-x）=f（x）cosx=g（x），
∴g（x）是定义在R上的偶函数．
又当x＜0时，g'（x）=f'（x）cosx-sinxf（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上递增，
于是偶函数g（x）在（0，+∞）递减．
∵f（-2）=0，f（2）=0，
∴f（x）•cosx≥0的解集为[-2，2]，
所以满足要求的整数有-2，-1，0，1，2．
故答案为：-2，-1，0，1，2．

点评：求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函的不等式解之．