Question

【题目】已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=3，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有＞0成立．
（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明；
（2）解不等式：f（x+）＜f（）；
（3）若当a∈[﹣1，1]时，f（x）≤m2﹣2am+3对所有的x∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）任取x1 ， x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2 ， 则﹣x2∈[﹣1，1]，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=（x1﹣x2），
由已知得，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增．
（2）∵f（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴，解得-≤x＜﹣1，
∴不等式的解集为{x|﹣≤x＜﹣1}．
（3）∵f（1）=3，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
∴在[﹣1，1]上，f（x）≤3，即m2﹣2am+3≥3，
∴m2﹣2am≥0对a∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围．
设g（a）=﹣2ma+m2≥0，
①若m=0，则g（a）=0≥0，自然对a∈[﹣1，1]恒成立．
②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≥0对a∈[﹣1，1]恒成立，
则必须g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，∴m≤﹣2或m≥2．
∴m的取值范围是m=0或m≤﹣2或m≥2．
【解析】（1）任取x1 ， x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2 ， 由奇函数的定义将f（x1）﹣f（x2）进行转化，利用所给的条件判断出f（x1）＜f（x2）即可；
（2）根据（1）的结论和增函数的定义，以及函数的定义域，列出不等式组求出x的范围；
（3）根据（1）的结论和条件，将问题转化为m2﹣2am+3≥3，即m2﹣2am≥0对a∈[﹣1，1]恒成立，再构造函数g（a）=﹣2ma+m2 ， 即g（a）≥0对a∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围，需对m进行分类讨论求出此函数的最小值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数单调性的性质的理解，了解函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．