题目内容
【题目】已知二次函数同时满足:①在定义域内存在
,使得
成立;
②不等式的解集有且只有一个元素;数列
的前
项和为
,
,
,
。
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)设,
,
的前
项和为
,若
对任意
,且
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析: (1) 由①②可知,函数f(x)的,且对称轴大于0.由
或
分类讨论可解.(2)由(1)得
,根据数列通项与和的关系
,
可求得
.(3)
, 当
时,
,由分组求和得
…
,代入,分离参数得
,当n=2时取最小值9,所以
.
试题解析:(1)由不等式的解集有且只有一个元素,得:
或
当时,
,在
上单增,不合题意,舍
当时,
在
上单减,
故存在,使得
成立
(2)由①知: 当
时,
当时,
(3)
当时,
…
对
恒成立
设
,是关于
的增函数
的取值范围是:
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