Question

12．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求BC₁与平面ABCD所成角的大小；
（2）求证：BC₁⊥B₁D；
（3）求证：B₁D⊥平面A₁BC₁．

Answer 1

分析 （1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，证明C₁C⊥平面ABCD，则∴∠C₁BC=α，就是直线BC₁与平面ABCD所成角，解直角三角形C₁BC即可．
（2）连接B₁C，由BC₁⊥B₁C，DC⊥BC₁，可证BC₁⊥平面B₁CD，即可证明BC₁⊥B₁D；
（3）连接B₁D₁，则证明A₁C₁⊥B₁D，由（2）可证BC₁⊥B₁D即可证明B₁D⊥平面A₁C₁B．

解答 解：（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∴C₁C⊥平面ABCD，
∴直线BC是直线BC₁在平面ABCD内的射影，
∴∠C₁BC=α，就是直线BC₁与平面ABCD所成角，
在直角三角形C₁BC中，
CC₁=BC，
∴∠C₁BC=45°．
（2）连接B₁C，
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁⊥B₁C，DC⊥BC₁，
∵B₁C∩DC=C，
∴BC₁⊥平面B₁CD，
∵B₁D?平面B₁CD，
∴BC₁⊥B₁D；
（3）连接B₁D₁，则B₁D₁⊥A₁C₁，
∵BB₁⊥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
∵B₁D?平面BB₁DD₁，
∴A₁C₁⊥B₁D，
∵由（2）可证BC₁⊥B₁D；BC₁∩A₁C₁=C₁，
∴B₁D⊥平面A₁C₁B，得证．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基本知识的考查．