题目内容
以椭圆
+y2=1(a>1)短轴的一个端点B(0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形,问这样的直角三角形是否存在?如果存在,请说明理由,并判断最多能作出几个这样的三角形;如果不存在,请说明理由.
+y2=1(a>1)短轴的一个端点B(0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形,问这样的直角三角形是否存在?如果存在,请说明理由,并判断最多能作出几个这样的三角形;如果不存在,请说明理由.当1<a≤
时,只能作出一个三角形;
当a>时,能作出三个三角形.
时,只能作出一个三角形;当a>
时,能作出三个三角形.由题意可知直角边BA、BC不可能垂直或平行于x轴.
故可设BC边所在直线方程为y=kx+1(不妨设k<0),则BA边所在直线方程为y=-
x+1.
由
消去y,得
(1+a2k2)x2+2a2kx=0.
解之,得x1=0,x2=-
.
∴|BC|=
|x1-x2|=
.
用-代替上式中的k得|AB|=
.
由|BC|=|BA|,得|k|(a2+k2)=1+a2k2.
注意到k<0,得(k+1)［k2+(a2-1)k+1］="0. " ①
当Δ=(a2-1)2-4<0,即1<a<时,①有唯一解k=-1;
当a=时,①化为(k+1)3=0有唯一解k=-1;
当a>3时,①有三个不同的解.
综上所述:
当1<a≤时,只能作出一个三角形;
当a>时,能作出三个三角形.
故可设BC边所在直线方程为y=kx+1(不妨设k<0),则BA边所在直线方程为y=-
x+1.由
消去y,得(1+a2k2)x2+2a2kx=0.
解之,得x1=0,x2=-
.∴|BC|=
|x1-x2|=.用-
代替上式中的k得|AB|=.由|BC|=|BA|,得|k|(a2+k2)=1+a2k2.
注意到k<0,得(k+1)［k2+(a2-1)k+1］="0. " ①
当Δ=(a2-1)2-4<0,即1<a<
时,①有唯一解k=-1;当a=
时,①化为(k+1)3=0有唯一解k=-1;当a>3时,①有三个不同的解.
综上所述:
当1<a≤
时,只能作出一个三角形;当a>
时,能作出三个三角形.
练习册系列答案
相关题目
（其中
），直 线L与椭圆只有一个公共点T；两条平行于y轴的直线
分别过椭圆的左、右焦点F1、F2，且直线L分别相交于A、B两点．
轴上的截距为
，求证：直线L斜率的绝对值与椭圆E的离心率相等；（Ⅱ）若
的最大值为1200，求椭圆E的方程．
+
=1的两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则||PF1|-|PF2||的值为（ ）
=1(a>b>0)的内接矩形面积的最大值.
+y2=1中斜率为1的平行弦的中点的轨迹方程是_________________.
;
;
.
-
,且过点(2,0)的椭圆的标准方程为（ ）
+y2=1或
+
="1"
=1
＋
＝１与
＋
＝１(０＜ｋ＜９)的关系为( )