Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=

x

，若对任意的x∈[a，a+2]不等式f（x+a）≥

3

f（x）恒成立，则a的最大值为

-4

．

Answer 1

分析：由当x≥0时，f（x）=

x

，由函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=-

-x

，从而可知f（x）在R上是单调递增函数，且满足

3

f（x）=f（3x），再根据单调性把不等式f（x+a）≥

3

f（x）转化为具体不等式在[a，a+2]恒成立，分离参数转化为函数最值，即可得出答案．

解答：解：当x≥0时，f（x）=

x

，
∵函数是奇函数，∴当x＜0时，f（x）=-

-x

，
∴f（x）=

x ，x≥0 - -x ，x＜0

，
∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足

3

f（x）=f（3x），
∵不等式f（x+a）≥

3

f（x）=f（3x）在[a，a+2]恒成立，
∴x+a≥3x在[a，a+2]恒成立，即：x≤

a

2

在[a，a+2]恒成立，
∴a+2≤

a

2

，解得a≤-4．
故答案为：-4．

点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性、单调性的应用，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．