Question

20．已知数列{a_n}满足a₂=34，a_n+1-a_n=4n（n∈N^*），则数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的最小值是（　　）

• A． 15
• B． 14
• C． $\frac{27}{2}$
• D． 16

Answer 1

分析 a_n+1-a_n=4n（n∈N^*），可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂=2n²-2n+30．因此$\frac{{a}_{n}}{n}$=$2n+\frac{30}{n}$-2，再利用单调性即可得出．

解答 解：∵a_n+1-a_n=4n（n∈N^*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=4（n-1）+4（n-2）+…+4×2+34
=$4×\frac{n（n-1）}{2}$+30
=2n²-2n+30．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$2n+\frac{30}{n}$-2，
当n=4时，$\frac{{a}_{4}}{4}$=$\frac{27}{2}$，
当n=3时，$\frac{{a}_{3}}{3}$=14．
因此当n=4时，数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}取得最小值是$\frac{27}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的单调性、“累加求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．