Question

11．已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，实数m的最大值为k
（1）求实数k；
（2）若a，b，c∈R⁺，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=\frac{k}{20}$，求z=a+2b+3c的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件根据绝对值三角不等式，求得|x+3|+|x-11|的最小值，可得m的范围．
（2）由条件利用柯西不等式，求得z=a+2b+3c的最小值．

解答 解：（1）2f（x）≥g（x+4）恒成立，即2|x+3|≥m-2|x-7|恒成立，
即m≤2 （|x+3|+|x-7|）恒成立．
由于（|x+3|+|x-11|）≥|x+3-（x-7）|=20，∴m≤20．
（2）若a，b，c∈R⁺，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=\frac{k}{20}$，故由柯西不等式可得 z=a+2b+3c=（a+2b+3c ）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）≥${（\sqrt{c}•\frac{1}{\sqrt{c}}+\sqrt{2b}•\frac{1}{\sqrt{2b}}+\sqrt{3c}•\frac{1}{\sqrt{3c}}）}^{2}$=9，
故 z=a+2b+3c 的最小值为9．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，柯西不等式的应用，属于中档题．