Question

8．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），并且满足三个条件：①对任意的x，y∈R⁺，都有f（x+y）=f（x）f（y）；②对任意的x∈R⁺，都有0＜f（x）＜1；③f（2）=$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求f（1），f（3）的值；
（Ⅱ）证明：函数f（x）为区间（0，+∞）上的减函数；
（Ⅲ）解不等式：f（2x）＜$\frac{1}{32}$f（-x²+6x-8）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用赋值法，求f（1），f（3）的值；
（Ⅱ）利用函数的单调性的定义证明：函数f（x）为区间（0，+∞）上的减函数；
（Ⅲ）不等式：f（2x）＜$\frac{1}{32}$f（-x²+6x-8），可化为不等式：f（2x）＜f（5）f（-x²+6x-8），利用单调性，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）解：令x=y=1，则f（2）=f（1）•f（1）=$\frac{1}{4}$，
∵对任意的x∈R⁺，都有0＜f（x）＜1，∴f（1）=$\frac{1}{2}$；
f（3）=f（1+2）=f（1）f（2）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$；
（Ⅱ）证明：设0＜x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞），
∵对任意的x∈R⁺，都有0＜f（x）＜1，
∴f（x₂）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$•x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）f（x₁）＜f（x₁）
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可得f（5）=$\frac{1}{32}$．
不等式：f（2x）＜$\frac{1}{32}$f（-x²+6x-8），可化为不等式：f（2x）＜f（5）f（-x²+6x-8）．
∴2x＞-x²+6x-3＞0且-x²+6x-8＞0．
∴3＜x＜4，
∴不等式的解集为{x|3＜x＜4}．

点评 本题考查抽象函数的运用问题，考查函数的单调性，考查学生解不等式的能力，属于中档题．