Question

16．已知函数f（x）=（x²-a+1）e^x，g（x）=（x²-2）e^x+2．
（1）若f（x）在[-3，1]上是单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）有两个不同的极值点m，n（m＜n），且2（m+n）≤m-1，记F（x）=e²f（x）+g（x），求F（m）的最大值．

Answer 1

分析 （1）复合函数求导，对单调性分类求解
（2）最值问题化为单调性问题，需求出变量m的范围，进而确单调区间，求出最值．

解答 解：（1）由题得
f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x  
若函数f（x）在[-3，1]上是单调递增函数
则f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x≥0在[-3，1]上恒成立
即x²+2x-a+1≥0，
∴a≤x²+2x+1=（x+1）²在[-3，1]上恒成立
∴a≤0，
若函数f（x）在[-3，1]上是单调递减函数
则f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x≤0在[-3，1]上恒成立
即x²+2x-a+1≤0
a≥x²+2x+1=（x+1）²在[-3，1]上恒成立
∴a≥4
综上，若函数f（x）在[-3，1]上是单调函数，则a的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）
（2）令f′（x）=0
∴x²+2x-a+1=0
∵f（x）有两个不同的极值点
∴△=4-4（1-a）=4a＞0，
即a＞0，
且由韦达定理可知：m+n=-2，mn=1-a（m＜n），
∵2（m+n）≤m-1
∴-3≤m，
∵m+n=-2，m＜n，
∴m＜-1，
∴-3≤m＜-1
∴F（x）=（x²-a+1）e^x+2+（x²-2）e^x+2=（2x²-a-1）e^x+2
∴F（m）=（2m²-a-1）e^m+2=（m²-2m-2）e^m+2
∴F′（m）=（m²-4）e^m+2
∴F（m）在[-3，-2]上单调递增，在[-2，-1）上单调递减
∴F_max（m）=F（-2）=6．

点评 此题分类多，综合性强，需对导数进行充分理解