题目内容
15.在直角坐标系xoy中,曲线C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$(t为参数,t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,曲线C3:ρ=2$\sqrt{3}$cosθ.(Ⅰ)求C2与C3交点的直角坐标;
(Ⅱ)若C2与C1相交于点A,C3与C1相交于点B,求|AB|的最大值.
分析 (Ⅰ)将C2与C3转化为直角坐标方程,解方程组即可求出交点坐标;
(Ⅱ)求出A,B的极坐标,利用距离公式进行求解.
解答 解:(Ⅰ)曲线C2:ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ,即x2+y2=2y,①
C3:ρ=2$\sqrt{3}$cosθ,则ρ2=2$\sqrt{3}$ρcosθ,即x2+y2=2$\sqrt{3}$x,②
由①②得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$,
即C2与C3交点的直角坐标为(0,0),($\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$);
(Ⅱ)曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx,
则极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤a<π.
因此A得到极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2$\sqrt{3}$cosα,α).
所以|AB|=|2sinα-2$\sqrt{3}$cosα|=4|sin(α$-\frac{π}{3}$)|,
当α=$\frac{5π}{6}$时,|AB|取得最大值,最大值为4.
点评 本题主要考查极坐标方程和参数方程的应用,考查学生的运算和转化能力.
练习册系列答案
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