Question

6．如图一，在四边形PEBC中，PC=1，CB=$\sqrt{3}$，∠CPE=$\frac{π}{3}$，∠PCB=$\frac{5π}{6}$，在边PE上取一点A，使PA=1（PE足够长），连结AC、AB，将△PAC与△EAB分别沿AC和AB折起，使平面PAC⊥平面ABC，且PE∥BC（如图二）；过BC作平面交AP、AE分别于点M、N．

（1）求证：MN∥PE；
（2）设$\frac{AN}{AP}$=λ，求λ 的值，使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45°．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的判定定理证明BC∥平面APE，可得MN∥PE；
（2）证明∠NCA为二面角N-CB-A的平面角，可得∠NCA=45°．在△NCA中运用正弦定理得，$\frac{AN}{AC}$=$\frac{sin45°}{sin75°}$=$\sqrt{3}$-1，即可求λ 的值．

解答 （1）证明：因为PE∥CB，BC?平面APE，PE?平面APE，
所以BC∥平面APE  …（3分）
又依题意平面ABC交平面APE于MN，故MN∥BC，所以MN∥PE …（5分）
（2）解：由（1）知MN∥BC，故C、B、M、N共面，平面ABC与平面MNC所成的锐二面角即N-CB-A．
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且CB⊥AC，
所以CB⊥平面PAC．故CB⊥CN，即知∠NCA为二面角N-CB-A的平面角…（11分），
所以∠NCA=45°．
在△NCA中运用正弦定理得，$\frac{AN}{AC}$=$\frac{sin45°}{sin75°}$=$\sqrt{3}$-1．
所以，λ=$\frac{AN}{AP}$=$\sqrt{3}$-1．  …（13分）

点评 本题考查线面平行的判定与性质，考查二面角的平面角，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．