题目内容
【题目】已知圆
的半径为2，
为平面上一点，
，
是圆上动点，线段
的垂直平分线
和直线
相交于点
．
（1）以
中点
为原点，所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，求点的轨迹方程；
（2）设（1）中点轨迹与直线
相交于
两点，求三角形
的面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据题意建立直角坐标系，由线段垂直平分线的性质即可得出
，进而得到
．由椭圆定义可知，点
的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，求出方程即可；
（2）联立直线与椭圆的方程消去
可得出关于
的一元二次方程，结合韦达定理求出
，
，进而求出弦长公式的代数式，然后利用三角形面积公式得到关于三角形面积的关于
的代数式，利用整体思想再结合基本不等式求出最值即可．
解：（1）以
所在直线为轴，中点
为原点，建立平面直角坐标系，如图
因为
，连
，由已知，得
，所以
．
由椭圆定义可知，点的轨迹是以
为焦点的椭圆，其方程为．
（2）由（1）知，点轨迹是椭圆，
与
交于
，
，
由
消去得
．
，．
故
令
，
，
．
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【题目】某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：
运动达人 | 非运动达人 | 总计 | |
男 | 35 | 60 | |
女 | 26 | ||
总计 | 100 |
（1）（i）将
列联表补充完整；
（ii）据此列联表判断，能否有
的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？
（2）将频率视作概率，从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户，求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望.
附：
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