Question

【题目】如图，已知抛物线的标准方程为，其中为坐标原点，抛物线的焦点坐标为，为抛物线上任意一点（原点除外），直线过焦点交抛物线于点，直线过点交抛物线于点，连结并延长交抛物线于点．

（1）若弦的长度为8，求的面积；

（2）求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出抛物线的方程.设直线的方程为（为斜率的倒数），代入抛物线的方程，韦达定理、弦长公式求出，即可求出的面积；

（2）设，则，可得.设直线的方程为，代入抛物线方程，可求得，可得.利用基本不等式可求的最小值．

（1）因为焦点坐标为，所以，

所以抛物线的方程为.

设直线的方程为（为斜率的倒数）.

由，得，则有

所以，

的面积为.

（另解：到直线的距离为，所以的面积为）.

（2）因为在抛物线上，可以设，根据第（1）问可知，两点的纵坐标之积为定值为，所以，则有，其中

可得：

设直线的方程为，

由 ，得，所以可知，两点的纵坐标之积为

所以，同理可得

综上可知：

所以有（等号成立条件）

则有最小值为．