Question

【题目】如图，直线与轴，轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴为直线.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）连结AC.请问在轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）存在，(0，0)，（，0）

【解析】

（1）先由直线解析式求出B，C两点坐标，再根据对称轴为直线可求出点A的坐标，A，B，C三点坐标代入，可得抛物线的函数式；（2）设抛物线的对称轴交x轴于点M，由可知，由可知，由相似三角形对应边的比相等可求出点Q。

解：（1）∵直线y=-x+3与x轴相交于点B，∴当y=0时，x=3.

∴点B的坐标为.

又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，

根据抛物线的对称性，∴点A的坐标为(1，0).

∵y=-x+3过点C，易知，∴c=3.

又∵抛物线过点，，

∴ 解得 ∴

（2）设在x轴上存在点Q.连结PB，由，得.

设抛物线的对称轴交x轴于点M.

在Rt△PBM中，PM=MB=1，∴△PBM为等腰直角三角形.∴.

由点，，可得OB=OC=3，∴△OBC为等腰直角三角形.∴.

由勾股定理，得.

假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似.

①当，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC.

即，∴BQ＝3.∴Q1的坐标是(0，0).

②当，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC，

即，∴QB＝.∴Q2的坐标是（，0）.

由题意知点Q不可能在B点右侧的x轴上.综上所述，在x轴上存在两点Q1(0，0)，Q2（，0）