题目内容
【题目】已知函数。
(1)若f(x)的图象与g(x)的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上,且在该点处两条曲线的切线互相垂直,求b和c的值。
(2)若a=c=1,b=0,试比较f(x)与g(x)的大小,并说明理由;
(3)若b=c=0,证明:对任意给定的正数a,总存在正数m,使得当x时,
恒有f(x)>g(x)成立。
【答案】(1)(2)当
时,
;当
时,
;当
时,
.(3)详见解析
【解析】
试题分析:(1)由题意得,
,即
(2)构造函数
则
.当
时,
,
,
当时,设
,则
,当
时,
取得极小值, 且极小值为
,故
在
上单调递增,
,
(3)构造函数
,则
,故
在
上有最小值,
,①若
,存在
,使当
时,恒有
;若
,存在
,使当
时,恒有
;③若
,存在
,使当
时,恒有
;
试题解析:(1)解: ,
,
,
,
,
2分
依题意:,所以
; 4分
(2)解: ,
时,
, 5分
①时,
,
,即
②时,
,
,即
③时,令
,则
.
设,则
,
当时,
单调递减;当
时,
单调递增.
所以当时,
取得极小值, 且极小值为
即恒成立,故
在
上单调递增,又
,
因此,当时,
,即
. 9分
综上,当时,
;当
时,
;当
时,
. 10分
(3)
证法一:①若,由(2)知,当
时,
.即
,
所以,时,取
,即有当
,恒有
.
②若,
即
,等价于
即
令,则
.当
时,
内单调递增.
取,则
,所以
在
内单调递增.
又
即存在,当
时,恒有
. 15分
综上,对任意给定的正数,总存在正数
,使得当
,恒有
. 16分
证法二:设,则
,
当时,
,
单调减,当
时,
,
单调增,
故在
上有最小值,
, 12分
①若,则
在
上恒成立,
即当时,存在
,使当
时,恒有
;
②若,存在
,使当
时,恒有
;
③若,同证明一的②, 15分
综上可得,对任意给定的正数,总存在
,当
时,恒有
. 16分
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目