题目内容
19.命题p:在f(x)=-x2+2ax+1-a,x∈[0,1]时的最大值不超过2,命题q:正数x,y满足x+2y=8,且a≤$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$恒成立.若p∨¬q为假命题,求实数a的取值范围.分析 先求出关于p,q为真时的a的范围,根据p∨¬q为假命题,得到p假q真,得到关于a的不等式组,解出即可.
解答 解:关于命题p:f(x)=-x2+2ax+1-a,
函数f(x)的对称轴是:x=a,
①a≥1时:f(x)在[0,1]递增,f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=a≤2,故1≤a≤2;
②0<a<1时:f(x)在(0,a)递增,在(a,1)递减,
∴f(x)max=f(a)=a2-a+1≤2,解得:$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$≤a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,
∴0<a<1;
③a≤0时:f(x)在[0,1]递减,
∴f(x)max=f(0)=1-a≤2,解得:a≥-1,即-1≤a≤0;
综合①②③得:a∈[-1,2];
命题q:正数x,y满足x+2y=8,则$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{4}$=1,
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=($\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$)($\frac{x}{8}$+$\frac{y}{4}$)=$\frac{1}{2}$+$\frac{y}{2x}$+$\frac{x}{8y}$≥$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{\frac{y}{2x}•\frac{x}{8y}}$=1,
∴a≤1,即a∈(-∞,1];
若p∨¬q为假命题,则p假q真
∴$\left\{\begin{array}{l}{a<-1或a>2}\\{a≤1}\end{array}\right.$,解得:a<-1.
点评 本题考查了复合命题的判断,考查二次函数的最值问题,基本不等式的应用,是一道中档题.
A. | $\frac{\sqrt{2}}{5}$ | B. | -$\frac{\sqrt{2}}{5}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{10}$ | D. | -$\frac{\sqrt{2}}{10}$ |
A. | $\frac{1}{30}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{56}{900}$ | D. | $\frac{7}{8}$ |
A. | {x|0<x<1} | B. | {x|x<1} | C. | {x|0<x≤1} | D. | {x|x≤1} |
A. | 若f(x1)=f(x2),则x1-x2=kπ,k∈Z | |
B. | f(x)的图象关于点($-\frac{3}{8}π$,0)对称 | |
C. | f(x)的图象关于直线$x=\frac{5}{8}π$对称 | |
D. | f(x)的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度后得$g(x)=\sqrt{2}sin(2x+\frac{π}{4})$ |