Question

11．已知二次函数y=f（x）的对称轴为x=1，且f（0）=6，f（-1）=12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的定义域为[m，m+1]，f（x）的值域为[12，22]，求m的值．

Answer 1

分析 （1）设出二次函数，利用已知条件列出方程求解即可．
（2）求出对称轴的函数值，判断对称轴是否在区间[m，m+1]，然后分类讨论求解即可．

解答 解：（1）因为函数f（x） 为二次函数，所以设 f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
  由已知有$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=1}\\{f（0）=c=6}\\{f（-1）=a-b+c=12}\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$
 所以 f（x）=2x²-4x+6
（2）因为f（x）在[m，m+1]的值域为[12，22]，且f（1）=4 所以1∉[m，m+1]，
所以m＞1 或 m＜0
当m＞1 时，f（x） 在[m，m+1]单调递增，
所以由$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2{m}^{2}-4m+6=12}\\{f（m+1）=2（m+1）^{2}-4（m+1）+6=22}\end{array}\right.$，解得m=3；
当m＜0 时，f（x） 在[m，m+1]单调递减，
所以由$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2{m}^{2}-4m+6=22}\\{f（m+1）=2（m+1）^{2}-4（m+1）+6=12}\end{array}\right.$，解得 m=-2
综上知，m=3 或 m=-2

点评 本题考查二次函数的性质，解析式的求法以及函数的值域求法，考查分析问题解决问题的能力．