题目内容
【题目】已知椭圆 的离心率 ,焦距为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)已知椭圆 与直线 相交于不同的两点 ,且线段 的中点不在圆 内,求实数 的取值范围.
【答案】
(1)解:由题意知 解得 又 , .
故椭圆的方程为
(2)解:联立得 消去 可得
则 .
设 ,则 则
∴ 中点坐标为 ,
因为 的中点不在圆 内,
所以 或 ,
综上,可知 或
【解析】(1)由离心率的公式代入数值求出a与c的值,代入到椭圆里a2=b2+c2求出a、b的值进而得出椭圆的方程。(2)联立直线和椭圆的方程消元得到关于x的一元二次函数再由椭圆 C 与直线相交于不同的两点 M , N,故判别式大于零得出m的取值范围,再结合韦达定理求出两根之和与两根之积的关于m的代数式,再借助中点的坐标公式以及该中点不在圆上代入坐标可得,关于m的不等式解出结果即可。
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