题目内容
【题目】如图示,A,B分别是椭圆C: (a>b>0)的左右顶点,F为其右焦点,2是|AF与|FB|的等差中项, 是|AF|与|FB|的等比中项.点P是椭圆C上异于A、B的任一动点,过点A作直线l⊥x轴.以线段AF为直径的圆交直线AP于点A,M,连接FM交直线l于点Q.
(1)求椭圆C的方程;
(2)试问在x轴上是否存在一个定点N,使得直线PQ必过该定点N?若存在,求出N点的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】
(1)
解:由题意得|AF|=a+c,|FB|=a﹣c,
即 ,
解得:a=2,c=1,
∴b2=4﹣1=3,
∴所求椭圆的方程为: =1
(2)
解:假设在x轴上存在一个定点N(n,0),使得直线PD必过定点N(n,0),
设动点P(x0,y0),由于P点异于A,B,
故y0≠0,且x0≠±2,
由点P在椭圆上,
故有 ,∴ ,①
又由(1)知A(﹣2,0),F(1,0),∴直线AP的斜率 ,
又点M是以线段AF为直径的圆与直线AP的交点,∴AP⊥FM,
∴ ,
∴直线FM的方程:
联立FM,l的方程 ,得交点Q(﹣2, ).
∴P、Q两点连线的斜率 ,②
将①式代入②式,并整理得:kPQ= ,
又P,N两点连线的斜率 ,
若直线QP必过定点N(n,0),则必有kPQ=KPN恒成立
即 整理得: ,③
将①式代入③式,得
解得:n=2,
故直线x过定点(2,0).
【解析】(1)由题意得|AF|=a+c,|FB|=a﹣c,再由2是|AF与|FB|的等差中项, 是|AF|与|FB|的等比中项,能求出椭圆的方程.(2)假设在x轴上存在一个定点N(n,0),使得直线PD必过定点N(n,0),设动点P(x0 , y0),由点P在椭圆上,求出 ,再求出直线FM的方程,联立FM,l的方程,得交点Q,由此能求出直线x过定点(2,0).