题目内容

如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AC1=c，点M为AB的中点，点N为BC的中点．
（1）求长方体ABCD-A1B1C1D1的体积；
（2）若a=4，b=2，c=
21
，求异面直线A1M与B1N所成的角．
（1）连AC、AC1，∵△ABC是直角三角形，∴AC=
a2+b2
．
∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，∴C1C⊥BC，C1C⊥CD，
又DC∩BC=C，∴C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥AC．
又在Rt△ACC1中，AC1=c，AC=
a2+b2
，∴CC1=
c2-a2-b2
，
∴VABCD-A1B1C1D1=ab
c2-a2-b2

（2）取AD的中点E，连A1E、EM，
∵EN
∥
.
.
AB
∥
.
.
A1B1，∴四边形A1B1NE为平行四边形，
∴A1E∥B1N，∴∠EA1M等于异面直线A1M与B1N所成的角或其补角．
∵AM=2，AE=1，AA1=1，得A1M=
5
，A1E=
2
，EM=
5
，
∴cos∠EA1M=
2
2•
5
=
10
10
，∠EA1M=arccos
10
10
．
∴异面直线A1M与B1N所成的角等于arccos
10
10

练习册系列答案
相关题目
正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，E是棱A1B1的中点．
（1）求异面直线A1B1与BD的距离；
（2）求直线EC1与BD所成角的大小．
正四面体A-BCD中，异面直线AB与CD所成角为（　　）
A．
π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
π
2
正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AD与BD1所成角的余弦值为（　　）
A．
3
3
B．
6
3
C．
2
2
D．
1
3
长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1=BC，P为C1D1上一点，则异面直线PB与B1C所成角的大小（　　）
A．是45°B．是60°
C．是90°D．随P点的移动而变化
线段AB的长等于它在平面α上射影的2倍，则AB所在的直线和平面α所成的角为（　　）
A．120°B．60°C．45°D．30°
正方体ABCD-A1B1C1D1中直线A1D与平面AB1C1D所成角为（　　）
A．30°B．45°C．60°D．90°
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱B1C1，AD的中点，则直线MN与底面ABCD所成角的大小是______．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=
7
，PA=
3
，∠ABC=120°，G为线段PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BGD；
（2）求直线DG与平面PAC所成的角的正切值．

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