题目内容

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=
7
，PA=
3
，∠ABC=120°，G为线段PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BGD；
（2）求直线DG与平面PAC所成的角的正切值．
（1）证明：设点O为AC、BD的交点，由AB=BC，AD=CD，得BD是线段AC的中垂线，所以O为AC的中点，
连结OG，
因为G为PC的中点，所以OG∥PA，
又因为PA?平面BGD，OG?平面BGD，
所以PA∥面BGD；
（2）因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
又由（1）知BD⊥AC，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，
所以DG与面PAC所成的角是∠DGO．
由（1）知：OG=
1
2
PA=
3
2
，在△ABC中，AC=
AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC
=2
3
，
所以OC=
1
2
AC=
3
，
在直角△OCD中，OD=
CD2-OC2
=2，
在直角△OGD中，tan∠DGO=
OD
OG
=
4
3
3
，
所以直线DG与面PAC所成的角的正切值是
4
3
3
．
练习册系列答案
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如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AC1=c，点M为AB的中点，点N为BC的中点．
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21
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（1）求证：MN⊥AB；
（2）求二面角P-CD-A的大小；
（3）求三棱锥D-AMN的体积．

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