题目内容
【题目】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段
的长度为
，在线段上取两个点
，
，使得
，以
为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段
作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第
个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为
，则（1）
______；（2）如果对
，
恒成立，那么线段的长度的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
通过分析图1到图4，猜想归纳出其递推规律，求出其通项公式，再判断该数列的性质即可．
解：由题意，得图1中的线段为
，
，
图2中的正六边形边长为
，
；
图3中的最小正六边形的边长为
，
图4中的最小正六边形的边长为
，
由此类推，
，
因为
，
（1）
；
（2）
，
对
恒成立，
又
，
，
，
故答案为：（1）
；（2）.
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