题目内容
【题目】已知函数,
(其中
是常数).
(Ⅰ)求过点与曲线
相切的直线方程;
(Ⅱ)是否存在的实数,使得只有唯一的正数
,当
时不等式
恒成立,若这样的实数
存在,试求
,
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)存在实数
,
只有唯一值
,
【解析】
(Ⅰ)先求导数,根据导数几何意义用切点坐标表示切线斜率,再根据点斜式得切线方程,最后根据切线过点求切点坐标,即得结果,
(Ⅱ)先化简不等式,构造函数,利用导数研究新函数单调性,确定最小值取法,再根据最小值不大于零,结合解得唯一性确定
,
的值.
解:(Ⅰ)设过点的直线与曲线
相切于点
,
因,则
,
所以在处切线斜率为
,
则在处切线方程为
,
将代入切线方程,得
,
所以,
所以切线方程为;
(Ⅱ)假设存在的正实数,使得只有唯一的正数
,当
时不等式
恒成立,即
恒成立,
因为,所以
,即
,
令
则,由于
,即
,
(1°)当即
时,
时,
,则
在
上为增函数,
时,
,则
在
上为减函数,
则,
即,令
,
则,由
,得
,
时,
,则
在区间
上为减函数,
时,
,则
在区间
上为增函数,
因此存在唯一的正数,使得
,故只能
.
所以,
所以,此时
只有唯一值
.
(2°)当即
时,
,所以
在
上为增函数,
所以,即
,故
.
所以满足的
不唯一,
综上,存在实数,
只有唯一值
,当
时,恒有原式成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目