题目内容

（B题）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为2
3
，离心率为
3
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A（-1，1），过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．
（1）设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．
由题意，得
2a=2
3
c
a
=
3
3
，解得
a=
3
c=1
，所以b2=2．
所求的椭圆方程为
x2
3
+
y2
2
=1．
（2）当BC垂直于x轴时，因点A（-1，1），|BC|=2
2
，S△ABC=
2
，
当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入
x2
3
+
y2
2
=1，得x2=
6
2+3k2
，
|BC|=2
1+k2
|x|=2
6
•
1+k2
3k2+2
，又点A到BC的距离d=
|1+k|
1+k2
，
所以S△ABC=
1
2
|BC|•d=
6
•
|k+1|
3k2+2
=
6
•
(k+1)2
3k2+2
=
2
•
1+
6k+1
3k2+2
，
设6k+1=t，得S△ABC=
2
•
1+
12t
t2-2t+25
=
2
•
1+
12
t+
25
t
-2
≤
5
，此时k=
2
3
，
综上知当k=
2
3
，时△ABC面积有最大值为
5
．
练习册系列答案
相关题目
直线L：y=kx+1与椭圆C：ax2+y2=2（a＞1）交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）．
（1）若k=1，且四边形OAPB为矩形，求a的值；
（2）若a=2，当k变化时（k∈R），求点P的轨迹方程．
如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中心，P为半圆弧上一点，且AB=4，∠POB=30°，双曲线C以A，B为焦点且经过点P．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程；
（2）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，若△OEF的面积不小于2
2
，求直线l的斜率的取值范围．
已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为x=
3
2
，且与椭圆
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
（重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L1：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
已知三点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）．
（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；
（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．
【理科】已知双曲线的中心在坐标原点O，一条准线方程为x=
3
2
，且与椭圆
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的方程；
（2）设直线：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为
2
5
5
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点且斜率为
1
2
的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．
抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=
8
6
11
．
（1）求抛物线的方程；
（2）在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
已知圆C1：x2+y2=
4
5
，直线l：y=x+m（m＞0）与圆C1相切，且交椭圆C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)于A1，B1两点，c是椭圆C2的半焦距，c=
3
b．
（1）求m的值；
（2）O为坐标原点，若
OA1
⊥
OB1
，求椭圆C2的方程；
（3）在（2）的条件下，设椭圆C2的左、右顶点分别为A，B，动点S（x1，y1）∈C2（y1＞0）直线AS，BS与直线x=
34
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分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．

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