题目内容

抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=
8
6
11
．
（1）求抛物线的方程；
（2）在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）设所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），
由
y2=2px
x+y-1=0
消去y，
得x2-2（1+p）x+1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=2（1+p），
x1•x2=1．∵|AB|=
8
6
11
，
∴
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
8
6
11
，
∴121p2+242p-48=0，
∴p=
2
11
或-
24
11
（舍）．
∴抛物线的方程为y2=
4
11
x．

（2）设AB的中点为D，则D(
13
11
，-
2
11
)．
假设x轴上存在满足条件的点C（x0，0），∵△ABC为正三角形，
∴CD⊥AB，∴x0=
15
11
．
∴C（
15
11
，0），∴|CD|=
2
2
11
．
又∵|CD|=
3
2
|AB|=
12
2
11
，
故矛盾，∴x轴上不存在点C，使△ABC为正三角形．
练习册系列答案
相关题目
过椭圆
x2
6
+
y2
5
=1内的一点P（2，-1）的弦，恰好被点P平分，则这条弦所在直线方程（　　）
A．y=
5
3
x-
5
6
B．y=
5
3
x-
13
3
C．y=-
5
3
x+
5
6
D．y=
5
3
x+
11
6
（B题）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为2
3
，离心率为
3
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A（-1，1），过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．
已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于
10
时，求k的值．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率e=
2
且点P(3，
7
)在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2
2
，求直线l的方程．
已知椭圆C1：
x2
4
+
y2
3
=1，抛物线C2：（y-m）2=2px（p＞0），且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点．
（Ⅰ）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，与双曲线x2-y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）
A．
x2
8
+
y2
2
=1		B．
x2
12
+
y2
6
=1		C．
x2
16
+
y2
4
=1		D．
x2
20
+
y2
5
=1
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为
3
2
，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
如图所示，是等腰三角形，是底边延长线上一点，
且，，则腰长=        .

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