题目内容
【题目】已知函数f(x)=lnx+ax2-x(x>0,a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)求证:当a≤0时,曲线y=f(x)上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论a的范围.求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)根据函数的单调性以及a的范围证明即可.
(Ⅰ)f′(x)=+2ax-1=(x>0),
设g(x)=2ax2-x+1(x>0),
(1)当0<a<时,g(x)在(0,),(,+∞)上大于零,
在(,)上小于零,
所以f(x)在(0,),(,+∞)上递增,
在(,)上递减,
(2)当a≥时,g(x)≥0(当且仅当a=,x=2时g(x)=0),
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
(3)当a=0时,g(x)在(0,1)上大于零,在(1,+∞)上小于零,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)单调递减,
(4)当a<0时,g(x)在(0,)上大于零,在(,+∞)上小于零,
所以f(x)在(0,)上递增,在(,+∞)上递减;
(Ⅱ)曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的曲线方程为:
y=(+2at-1)(x-t)+lnt+at2-t,
曲线方程和y=f(x)联立可得:
lnx+ax2-(+2at)x-lnt+at2+1=0,
设h(x)=lnx+ax2-(+2at)x-lnt+at2+1(x>0),
h′(x)=,
当a≤0时,在(0,t)h′(x)>0,在(t,+∞)h′(x)<0,
故h(x)在(0,t)递增,在(t,+∞)递减,
又h(t)=0,
故h(x)只有唯一的零点t,
即切线与该曲线只有1个公共点(t,f(t)).
【题目】为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿,研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调查,得到数据的统计图表如下:
购买意愿市民年龄 | 不愿意购买该款电冰箱 | 愿意购买该款电冰箱 | 总计 |
40岁以上 | 600 | 800 | |
40岁以下 | 400 | ||
总计 | 800 |
(1)根据图中的数据,估计该款电冰箱使用时间的中位数;
(2)完善表中数据,并据此判断是否有的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市民年龄”有关;
(3)用频率估计概率,若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台,记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为,求的期望.
附: