题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中，
，
，
是
的中点．
（I）求证：平面
平面
；
（II）若异面直线
与
所成角为
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】（I）见证明;（II）
.
【解析】
（I）做辅助线如图所示，根据图形的性质得到线面垂直
平面
，再由平行四边形的性质得到线线平行，进而得到面面垂直；（II）建立空间坐标系根据线线角得出
是正三角形，分别求出两个面的法向量进而得到面面角.
（I）证明：分别取
，
的中点
，
，连接
，
，
，
则
，
，有
，即四边形
是平行四边形.
，
，
，
又平面
平面，
平面，
而
，
平面，
又
平面
，
平面
平面.
（II）连接
，由
知
是异面直线
与
所成角，
，易知是正三角形
不妨设
，则
，取
为原点，直线
，
，
分别为
，
，
轴，建立坐标系
，显然平面的一个法向量为
.
由
，
，
得，
，
.
设
是平面的法向量.
则
，取
.
.
.
故平面与平面
夹角的余弦值为.
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