题目内容
【题目】已知城
和城
相距
，现计划以
为直径的半圆上选择一点
（不与点
， 
重合）建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城
和城
的总影响度为对城
与城
的影响度之和.记点到
城
的距离为
，建在
处的垃圾处理厂对城
和城
的总影响度为
.统计调查表明：垃圾处理厂对城
的影响度与所选地点到城
的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城
的影响度与所选地点到城
的距离的平方成反比例关系，比例系数为
.当垃圾处理厂建在
的中点时，对城
和城
的总影响度为0.065.
（1）将
表示成
的函数.
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在
上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城
和城
的总影响度最小？若存在，求出该点到城
的距离；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
.
（2）点
到城
的距离为
时，函数
有最小值.
【解析】（1）由点
是在以
为直径的半圆上，则易知
，由勾股定理可得， 
，再根据题意建立函数模型，求出系数
,从而问题可得解；（2）由（1）可得，利用函数导数来研究该的单调性，并求出其最小值，从而问题可得解.
试题解析：（1）由题意知
， 
， 
，
则
，
所以
.
因为当
时， 
，
代入表达式解得
，
所以
.
（2）因为
，
所以
.
令
，得
，
所以
，即
.
当
时， 
，所以函数
为减函数；
当
时， 
，所以函数
为增函数.
所以当
，即点
到城
的距离为
时，函数
有最小值.
【题目】某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一
人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．
年龄 分组 | 抽取份数 | 答对全卷 的人数 | 答对全卷的人数 占本组的概率 |
[20,30) | 40 | 28 | 0．7 |
[30,40) |
| 27 | 0．9 |
[40,50) | 10 | 4 |
|
[50,60] | 20 |
| 0．1 |
（1）分别求出
， 
， 
， 
的值；
（2）从年龄在
答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在
的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率．
