题目内容

【题目】已知椭圆的焦点在轴上,且椭圆的焦距为2.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过点的直线与椭圆交于两点,过轴且与椭圆交于另一点 为椭圆的右焦点,求证:三点在同一条直线上.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析:(Ⅰ)由焦距为2可得,解方程得的值,即可得椭圆的标准方程;(Ⅱ)设直线的方程为,点,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理可得 ,直线方程为,结合点在上,用 代替 ,化简整理直线方程为,令,整理得,得证.

试题解析:(Ⅰ)∵椭圆的焦点在轴上,

,即

∵椭圆的焦距为2,且

,解得

∴椭圆的标准方程为

(Ⅱ)由题知直线的斜率存在,

的方程为,点

由题可得直线方程为

又∵

∴直线方程为

,整理得

即直线过点

又∵椭圆的右焦点坐标为

∴三点在同一条直线上.

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