题目内容
【题目】如图,在直三棱柱中,
,
,
,点
是
的中点.
(1)证明:直线平面
;
(2)求异面直线与
所成角的余弦值;
(3)求平面与
所成二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2) ;(3)
【解析】
(1)连接,交
于
,连结
,得到
为
中点,可证
,即可证明结论;
(2)以为坐标原点,建立如下图所示的空间直角坐标系,求出
坐标,再求出向量
夹角的余弦,即可求解;
(3)求出平面的法向量,取
轴上的单位向量为平面
法向量,根据向量的面面角公式,即可求解.
(1)连接,交
于
, 连结
,
直三棱柱中,
侧面为平行四边形,
为
中点,
点是
的中点,
又平面
,
平面
平面
(2)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,
则,
所以,
.
因为.
所以异面直线与
所成角的余弦值为
.
(3)设平面的法向量
.
因为,
所以,
即且
,
取,得
,
所以是平面
的一个法向量,
取平面的一个法向量
,
设平面与平面
所成二面角的大小为
.
由,
得.
因此平面与平面
所成二面角的正弦值为
.
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