题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)证明:当时,函数
有最大值.设
的最大值为
,求函数
的值域.
【答案】(Ⅰ)答案见解析.(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
(Ⅰ),令
,然后根据判别式
的符号讨论函数
函数值的情况,进而得到
的符号,于是可得函数的单调情况.
(Ⅱ)由题意得,结合(Ⅰ)得当
时,
在
上单调递减,且
,因此得到对任意
,存在唯一的
,使
,且
在
单调递增,在
单调递减,所以
的最大值
.设
,则
在
单调递减,可得
,进而可得所求值域.
(Ⅰ)由,
得.
令,
则,
(1)当时,
,所以
,
,
所以在
上单调递减.
(2)当或
时,
,
设的两根为
且
,则
,
①若,可知
,
则当时,
单调递减;当
时,
单调递增.
②若,可知
,
则当时,
单调递减;
当时,
单调递增.
综上可知:
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增;
当时,
在
上单调递减;
当时,
在
,
上单调递减,在
上单调递增.
(Ⅱ)由,
得
,
由(Ⅰ)可知当时,
在
上单调递减,且
,
所以对任意,存在唯一的
,使
(反之对任意
,
也存在唯一,使
).
且当时,
,
,
在
单调递增;
当时,
,
,
在
单调递减.
因此当时,
取得最大值,且最大值
,
令,
则,
所以在
单调递减,
所以,即
,
所以的值域为
.
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