题目内容
【题目】如图,在三棱台中,底面
是边长为
的正三角形,
,
,
是棱
的中点,点
在棱
上,且
.
(1)求证:平面
;
(2)求直线和平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)取BC上一点G,满足CG=3GB,连接,FG,推导出四边形
为平行四边形,从而EF
,由此能证明EF
平面
.
(2)延长交于一点P,取AC的中点为O,连接PO,OB,则PO⊥AC,BO⊥AC,过O作OD⊥平面ABC,如图,以OA为x轴,OB为y轴,OD为z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线EF和平面ABC所成角的正弦值.
解:(1)取上一点
,满足
,连
,
,
在中,由
∴,
又,
∴,
∴四边形为平行四边形
∴
又平面
,
平面
∴平面
.
(2)延长,
,
交于一点
,且
为边长为
的正三角形,
取的中点为
,连接
,
,则
,
,
且,
,
,
,
过作
平面
,如图,以
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
∴
面的一个法向量为
,
设与平面
所成的角为
,
∴,
∴直线和平面
所成角的正弦值为
.

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