题目内容
设函数
（其中
），区间
.
（1）求区间
的长度（注：区间
的长度定义为
）；
（2）把区间的长度记作数列
，令
，证明：
.
（1）
（2）见解析
解析试题分析：（1）由
，得
，解一元二次不等时即可.
（2）先利用裂项相消法求出
=
，故
,又易知
单调递增，故
，即可.
（1）由，得，解得
， 3分
即
，所以区间的长度为
； 6分
（2）由（1）知
， 7分
则
10分
因为，故， 11分
又易知单增，故，
综上. 12分
考点：区间的长度的定义；裂项相消法.
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为正整数时，定义函数
表示
，
，…．记
．则
．（用
中，
，且前n项的算术平均数等于第n项的
倍（
）.
是否为有理数,证明你的结论;
.使
对
都成立? 若存在,找出
的一个值, 并加以证明; 若不存在,说明理由.
满足：
且
.
，数列
的前项和为
，求证:
时，
且
所表示的平面区域为
，记
的值及
的表达式；
为数列
的前
项的和，其中
，问是否存在正整数
，使
成立？若存在，求出正整数
）项，且
，对每个i (1≤i≤
，i
N)，均有
．
时，写出满足条件的所有数列{an}（不必写出过程）；
时，求满足条件的数列{an}的个数．
+
+…+
＜
．
的公差大于零,且
是方程
的两个根；各项均为正数的等比数列
的前
项和为
,且满足
，
满足
，求数列
.