Question

8．已知a＞b＞0，求证：$\frac{a-b}{a+b}$＜$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＜$\frac{2（a-b）}{a+b}$．

Answer 1

分析 运用作差法证明，注意变形：因式分解，由平方数非负，即可得证．

解答 证明：由a＞b＞0，$\frac{a-b}{a+b}$-$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=（a-b）（$\frac{1}{a+b}$-$\frac{a+b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）
=（a-b）•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-（{a}^{2}+2ab+{b}^{2}）}{（a+b）（{a}^{2}+{b}^{2}）}$=-$\frac{2ab（a-b）}{（a+b）（{a}^{2}+{b}^{2}）}$＜0，
即有$\frac{a-b}{a+b}$＜$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$；
又$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-$\frac{2（a-b）}{a+b}$=（a-b）（$\frac{a+b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-$\frac{2}{a+b}$）
=（a-b）•$\frac{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}-2（{a}^{2}+{b}^{2}）}{（a+b）（{a}^{2}+{b}^{2}）}$=-$\frac{（a-b）^{3}}{（a+b）（{a}^{2}+{b}^{2}）}$＜0，
即有$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＜$\frac{2（a-b）}{a+b}$．
则有$\frac{a-b}{a+b}$＜$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＜$\frac{2（a-b）}{a+b}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差法，考查推理能力，属于中档题．