Question

13．已知角φ（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的顶点为原点，终边经过点P（1，-1），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）图象上任意两点，若|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，再将f（x）的图象的每个点保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{3}$，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的递增区间．

Answer 1

分析 （1）由任意角的三角函数的定义求得tanφ=-1，可求φ=-$\frac{π}{4}$．再根据函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于$\frac{π}{3}$，可求函数的周期为$\frac{2π}{3}$，由此求得ω 的值，从而求得函数的解析式．
（2）由正弦函数的图象变换规律可求g（x）的解析式，利用2kπ$-\frac{π}{2}$≤9x+$\frac{3π}{4}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得g（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵角φ的终边经过点P（1，-1），
∴角φ的终边在第四象限，且tanφ=-1，|φ|＜$\frac{π}{2}$，故：φ=-$\frac{π}{4}$．
点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）图象上的任意两点，
若|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$，
则函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于$\frac{π}{3}$，
故函数的周期为$\frac{2π}{3}$，故$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，解得ω=3．
故函数的解析式为 f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）．
（2）函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位得y=2sin[3（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{4}$）=2sin（3x+$\frac{3π}{4}$）的图象；
再将所得图象个点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{3}$倍，得y=g（x）=2sin（9x+$\frac{3π}{4}$）的图象．
由2kπ$-\frac{π}{2}$≤9x+$\frac{3π}{4}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得g（x）的单调递增区间为：[$\frac{2kπ}{9}$-$\frac{5π}{36}$，$\frac{2kπ}{9}$-$\frac{π}{36}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．