Question

【题目】已知a∈R，若f（x）=（x+ ）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（ ）
A.a＞0
B.a≤1
C.a＞1
D.a≤0

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=（x+ ）ex ，
∴f′（x）=（ ）ex ，
设h（x）=x3+x2+ax﹣a，
∴h′（x）=3x2+2x+a，
a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，
∵h（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，
∴h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x0 ， 使得f′（x0）=0，
且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0 ， 1）上，f′（x）＞0，
∴x0为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；
a=0时，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，
此时h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，
即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；
a＜0时，h（x）=x3+x2+a（x﹣1），
∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，
即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值．
综上所述，a＞0．
故选：A．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．