题目内容
【题目】已知椭圆
的短轴长为
，离心率
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若
分别是椭圆
的左、右焦点，过
的直线
与椭圆
交于不同的两点
，求
的内切圆半径的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（2）设
的内切圆的半径为
，
易得
的周长为
，所以
，因此
最大，
就最大. 把
分解为
和
,从而得到
，整理方程组， 求出两根和与两根既即得到面积
与
的函数关系，通过换元，利用均值不等式即可求得
的最大值
，此时
.
试题解析：（1）由题意可得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
解得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
故椭圆的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分
（2）设
，设的内切圆的半径为，
因为的周长为，，
因此最大，就最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
，
由题意知，直线
的斜率不为零，可设直线
的方程为
，
由
得
，
所以，
．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
又因直线
与椭圆
交于不同的两点，
故
，即
，则
．．．．．．．．．．．．10分
令
，则
，
．
令
，由函数的性质可知，函数
在
上是单调递增函数，
即当
时，
在
上单调递增，
因此有
，所以
，
即当
时，最大，此时，
故当直线
的方程为
时，
内切圆半径的最大值为．．．．．．．．．．．12分
【题目】某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合计 |
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为
．
（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为
，求
的分布列和数学期望.
下面的临界值表仅供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
）
