题目内容
6．已知等边三角形△ABC的边长为a，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=（ ）| A． | $-\frac{1}{2}{a^2}$ | B． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$ | C． | $\frac{1}{2}{a^2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$ |
分析 由题意得到向量$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{BC}$的夹角，代入数量积公式得答案．
解答 解：由题意可得＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BC}$＞=$π-B=\frac{2π}{3}$，又$|{\overrightarrow{AB}}|=|{\overrightarrow{BC}}|=a$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|cos$＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BC}$＞=a×$a×（-\frac{1}{2}）$=$-\frac{1}{2}{a}^{2}$，
故选：A．
点评 本题考查平面向量的数量积运算，关键是注意向量的方向，是基础题．
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14．
如图，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N．
（1）求证：CC1⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
（3）在（2）中，我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子，这样的例子还有不少．下面请观察平面勾股定理的条件和结论特征，试着将勾股定理推广到空间去．
请在答题纸上完成上表中的类比结论，并给出证明．
如图，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N．（1）求证：CC1⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
（3）在（2）中，我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子，这样的例子还有不少．下面请观察平面勾股定理的条件和结论特征，试着将勾股定理推广到空间去．
| 勾股定理的类比 | 三角形ABC | 四面体O-ABC |
| 条件 | AB⊥AC | OA、OB、OC两两垂直 |
| 结论 | AB2+AC2=BC2 | ？ |
1．若G是△ABC的重心，且$a\overrightarrow{G{A}}+b\overrightarrow{G{B}}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}c\overrightarrow{GC}=\vec 0$，则角A=（ ）
| A． | 30° | B． | 45° | C． | 60° | D． | 90° |
18．某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件的利润与该产品首次出现故障的时间有关．某厂家生产甲、乙两种品牌，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取50件，统计数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
（Ⅰ）从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件，求其至少有一件首次出现故障发生在保修期内的概率；
（Ⅱ）若该厂生产的家电均能售出，记生产一件甲品牌的利润为X1，生产一件乙品牌家电的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌家电销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的家电．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的家电？说明理由．
| 品牌 | 甲 | 乙 | |||
| 首次出现故障时间x（年） | 0＜x≤1 | 1＜x≤2 | x＞2 | 0＜x≤2 | x＞2 |
| 数量（件） | 2 | 3 | 45 | 5 | 45 |
| 每件利润（百元） | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.9 |
（Ⅰ）从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件，求其至少有一件首次出现故障发生在保修期内的概率；
（Ⅱ）若该厂生产的家电均能售出，记生产一件甲品牌的利润为X1，生产一件乙品牌家电的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌家电销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的家电．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的家电？说明理由．