Question

17．在△ABC中，已知a，b，c为三角形的三边，a=2，b=2$\sqrt{2}$，C=15°，解此三角形（用余弦定理解答）

Answer 1

分析 由C的度数求出sinC与cosC的值，再由a与b的值，利用余弦定理求出c的值，根据正弦定理求出sinA与sinB的值，进而确定出A与B的度数．

解答 解：∵C=15°，
∴cosC=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
sinC=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∵a=2，b=2$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=4+8-8$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=8-4$\sqrt{3}$=2（$\sqrt{3}$-1）²，
解得：c=$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$-1）=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$得：$\frac{2}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{2}}{sinB}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$=4，
∴sinA=$\frac{1}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵a＜b，∴A＜B，
∴A=30°，B=135°．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．