Question

9．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，表面积为$\sqrt{3}+\sqrt{7}+1$．

Answer 1

分析 由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．

解答 解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的后侧面SAC与底面垂直，高SO为$\sqrt{3}$，
如图：

其中OA=OB=OC=1，SO⊥平面ABC，
AB=BC=$\sqrt{2}$，SA=SB=SC=2，
底面△ABC的面积为：$\frac{1}{2}×2×1=1$，
后侧面△SAC的面积为：$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
左右两个侧面△SAB和△SBC的底面边长为$\sqrt{2}$，两腰长为2，
故底边上的高为：$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
故左右两个侧面△SAB和△SBC的面积为：$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，
故几何体的表面积：$\sqrt{3}+\sqrt{7}+1$，
几何体的体积V=$\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}+\sqrt{7}+1$

点评 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．