题目内容

已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为
3
的直线交C于A、B两点,若
AF
=4
FB
,则双曲线C的离心率为______.
∵直线AB过点F(c,0),且斜率为
3

∴直线AB的方程为y=
3
(x-c)
与双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
消去x,得(
1
3
b2
-a2)y2+
2
3
3
b2cy+b4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴y1+y2=
2
3
b2c
3a2-b2
,y1y2=
-3b4
3a2-b2

AF
=4
FB
,可得y1=-4y2
∴代入上式得-3y2=
2
3
b2c
3a2-b2
,-4y22=
-3b4
3a2-b2

消去y2并化简整理,得
4
3
c2=
3
4
(3a2-b2)

将b2=c2-a2代入化简,得c2=
36
25
a2
,解之得c=
6
5
a

因此,该双曲线的离心率e=
c
a
=
6
5

故答案为:
6
5

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